群论起源，一个少年如何发明家一个新的数学分支来？伽罗瓦理论

样子像这样：a+b√2 a, b∈Q。为了很难刻画定律的棍长子，我们需场Q (√2)。对于每个报文扩展到（以及其他天内学取向），我们有一火炉函天内 σₙ，它将一个天内字发送到同一报文当中的另一个唯一天内字并遵循条件 σ(a+b)=σ(a)+σ( b )和σ(ab)=σ(a)σ(b)。σ是扩展到的函天内，不加诸坚实场Q。这些函天内专就是指同构。偷偷地感叹一句，他们也对角棍长子。这是因为对于棍长子r：

r⁵+ar⁴+br³+cr²+dr+e=0⟹σ(r⁵+ar⁴+br³+cr²+dr+e)=σ(0)⟹σ(r)⁵+aσ(r)⁴+bσ(r) ³+cσ(r)²+dσ(r)+e=0（因为σ不交谈Q（其当中a、b、c、d、e长期存在））

这反之亦然σ(r)也是定律的二阶。自从：

σ(r₁)−σ(r₂)=σ(r₁)+σ(−1)σ(r₂)=σ(r₁−r₂)≠0

棍长子是不尽相同的，所以我们有 5 个，它们需是原来的 5 个。因此σ需对角棍长子。

当然，这适用于任何某种程度的定律。

因此：

我们有我们的等式。该定律式有一个报文，意味著都有一些棍长子的扩展到该报文扩展到有一个一第一组，它是其所有同构的等价。3 度的两个例长子示例 1

定律：x³−x²−2x+2=0

棍长子是( 1,√2,–√2 )（你可以自己求出正确性），所以报文需是Q（√2）

写出我们可以打算起的所有排列成棍长子的举例（e备注示恒等排列成，它什么都不要用）：

(e)(√2↔–√2)(1↔√2)(1↔–√2)(√2→−√2 和 1→√2)(√2↔−√2 和 1↔−√2 )

让我们测试者一个：短时间内(√2↔−√2)为σ₁：

σ₁(√2+−√2)=σ₁(0)=0=σ₁(√2)+σ₁(−√2)σ₁((√2)(−√2))=σ₁(−2)=−2 =σ₁(√2)σ₁(–√2)

到目以前为止，一切都最好。另一个。

短时间内(1↔√2)为σ₂：

σ₂(√2+−√2)=σ₂(0)=0 ≠ σ₂(√2)+σ₂(−√2)=1+−√2σ₂((√2)(−√2))=2 ≠ σ2(√2)σ2(−√2)=1(−√2)

显然σ2不是同构，所以我们只得中止它。另一个σ碰到相同的疑虑，唯一仅剩的是e和σ₁。这被专就是指循环一第一组 C 2，因为我们勉强在一个方格当中对角（在这种完全是一个比较小的方格）。

示例 2

定律：x³−2=0

可以略微研究课题一下棍长子排列成，刚刚就意味著会显然在这种完全它们都是同构。因此有3个！同构，即所有棍长子排列成，因此一第一组需是S₃。

关于上左图的另一个引人入胜的什么事是它样子像一个等边三角形似，并且同构都只相同于摆动和光线三角形似。如果同构以这种方式也相同于于是以八边形似的菱形似性，则该一第一组专就是指“二面体一第一组”。在这种完全D₃。多半所有排列成的一第一组Sₙ与顺式一第一组Dₙ不尽相同，但在n=3的完全它是。

团体

这看来是在此期间来进行非常以致于的关于第一组的讨论的好以以前。因此，一第一组起初是棍长子排列成的等价，但也可以看作是同构的等价，或者是菱形似解析几何取向的摆动和光线。任何以样子有所不尽相同的方式也非常换取向的函天内等价都可以被视作一个第一组。但是，我们只不过可以提示傅立叶本身，而不必惧怕它们所功用的菱形似取向。就像我们在要用算术时不意味著会理意味著会取而代之产品火炉一样，我们只是遵循准则，相同地，我们可以假设一些准则，一第一组的转成遵循这些准则，并用作它们。

准则是这样的：

如果我们先以来进行一次傅立叶，然后便来进行一次傅立叶，我们将得不到仍在第一组当中的第三次傅立叶。例如，一第一组C₄是一个人可以在方形似上来进行的所有摆动的一第一组。如果 a 摆动90°，b 摆动180°，c 摆动270°，则a∗b=c。其当中 * 备注示，首先以要用 b 然后要用 a，多半专就是指行列式，因为它（好像）相同于天内字的行列式。棍长子据后面的准则，c 需在第一组当中。这专就是指停止。

需有一个什么都不要用的上标备注达方式(e) 。

对于每个备注达方式，都需有该备注达方式的正向。

今天，我们可以研究课题不尽相同第一组的形态，而不必惧怕棍长子或八边形似。

可视化第一组

可视化第一组的两种引人入胜方式也是：

西尔维斯特备注

以上是等边三角形似D₃一第一组的Caylay备注。就是一第一组里的所有备注达方式和相乘得不到的备注达方式是什么。例如，如果我们首先以来进行120 ∘摆动(r)，然后便次来进行有所不尽相同的摆动，我们将得不到240 ∘摆动rr=r²，如备注当中示意图。如果我们来进行 120° 摆动向上rf和r，我们最终只意味著会向上一次。肯定备注达方式f和r是如何不共享的。备注达方式通勤的一第一组专就是指等价一第一组。

虽然这个特定的备注即便如此比较菱形似，但意味著不一定如此。任何对遵循准则的备注达方式的加扰都是必需的。

Caylay左图

以上是D₃ Caylay 左图。这里的备注达方式以一种方式也看出，以看出如何从一个备注达方式穿过下一个备注达方式，其当中边沿是操作。在这种完全，需来进行120°摆动和向上，这些（r和f）也专就是指第一组的产生器，因为可以用它们生成整个第一组，从身份备注达方式开始。

第一组的词语

第一组一般而言在任何菱形似的以以前都有用。例如，；还有第一组用于刻画菱形似；还有。有些；还有可以摆动 180°，有些；还有可以光线，有些我们可以同时要用，等等。无论如何，它们只有 17 个，因此这是对；还有来进行分类的一种天衣无缝举例。

后面的；还有都统称一个原称p6m的第一组。

另一个非常短时间内人吃惊的是，一第一组的用作是在物理学当中。看来其本质遵循某些菱形似性。例如，如果傅立叶艾萨克·牛顿第二定律F=ma，未来 10 分钟它即便如此是一样的。其本质从一天到下一天都不意味著会扭转，这看来就是指出它们在短时间傅立叶总体是菱形似的。它们也不意味著会从一个以以前扭转到另一个以以前，所以室内空间的转成也是必需的。由于可以将短时间和室内空间转成为假定小或大的块，刻画这些的一第一组，李一第一组，都有无限天内量的备注达方式。

引人入胜的是，无论如何这些菱形似性都与相对论性有关。短时间菱形似需能量守恒，室内空间菱形似需分量守恒，角菱形似（自然地从各个尺度样子都一样）角分量守恒等等。艾美·贝尔 (Emmy Noether) 通过将菱形似性与最小功用基本概念为基础来展出了这一点，这是一种其本质，就是指出自然地倾向于“走最短于是以向”。

我断定引人入胜的是，有多少自然地的确定性和突出的动乱可以用诸如“其本质不意味著会每天扭转”和“自然地倾向于实行最短于是以向”等恰当假设来二阶释。

来到报文

间奏曲结束，我们在哪里？是的，我们在谈论x³−3 =0 及其棍长子和外延。

该定律的外延是Q (³√2, ζ)，很自然地地就是指出它样子像这样：a+b³√2+cζ，但这是缺失的。这样要用的状况是我们希望我们的教育领外延是“断路的”。也就是感叹，如果我们在报文当中移除或之比我们打算要留在报文当中的两个备注达方式。因此，例如 ³√2 和 ζ 都在上述报文当中，但 ³√2ζ 不在。

长子报文和长子第一组

再来我们后面 3 级的例长子，我们有

样子第二个报文和第一组比第一个报文和第一组非常精细。我们可以通过计算报文范例当中的项天内或一第一组范例当中的同构天内来揣测这一点。但均均计天内看来并只能真于是以理二阶精细的含义。以一第一组C₁₂为例。很多备注达方式，但它只摆动棍长子，所以样子却是那么精细。也就是说的报文是Q (eAndπ/6)。它将都有eAndπ/6,eAnd2π/6……但比如说不是很精细。

请讲出，惧怕一个一第一组有多精细将是理二阶为什么某些词棍长子只能均用康熙字典来刻画的关键。

为了非常好地理二阶确定性，我们将引进“长不可数”和“长子第一组”的假设。长子报文是就是指您删减了一些词语但即便如此有一个断路的报文。相同地，长子一第一组是当你删减一些同构但即便如此有一个闭一第一组时。

在第一种意味著Q (√2) 当中，唯一能要用的就是替换成外延当中的√2和一第一组当中的两个同构之一（我们只能替换成(e)并且即便如此有一个一第一组）。

至于第二种意味著Q (³√2, ζ)，它越发好像精细。可以通过一次只删减一个备注达方式来手动提取长子报文/第一组，然后提示结果报文/第一组是不是已停止。过了一意味著会儿，我们得出结论了这个：

引人入胜的是，这个教育领外延和这个一第一组体都有四个第一构成之外。今天，可以必要地揣测长子一第一组平常都只都有长不可数的同构。但他们只能。

互相交换报文

别惧怕，我们快完成了，只是好像精细。为了二阶这一点，让我们看一下报文Q (⁴√2, i)及其长子报文。

外延Q (⁴√2, i)不具备对角一第一组 D₄（与方形似有所不尽相同）。让我们再来D₄及其长子一第一组。

这张左图当中的长子一第一组格长子是盘上的， D₄在底部，我刚刚就意味著会讲到，但让我们先以再来长不可数与长子一第一组的对比。Q (⁴√2,i)有5个大长不可数和3个小长子长不可数，而D₄只有3个大长子一第一组和5个小长子长子一第一组。

看来只能能够大的第一组来排列成 5 个大报文。如果您要研究课题长子第一组和长子报文，您最终意味著会确信，长子第一组只不过排列成的不是长子报文，而是长子报文当中不长期存在的所有内容，它们“修补”或不加诸长子报文。

因此，例如(f)互相交换Q (⁴√2)和(r², f)互相交换Q (√2)。

为什么是这样而不是像我们起初揣测的那样只不过呢？

我只能恰当的方式也来二阶释这一点，我的看法是我们凭经验断定了它，今天我们可以尝试正确性它。正确性近似于这样：

伽罗瓦方正确性简左图手波基本方程

我们打算就是指出，如果我们将长子一第一组格盘上，我们将与长不可数格一一相同，其当中外延是一第一组的互相交换外延。

首先以，我打算就是指出这种意味著是必要的（却是一定上）。在底部第一组，我们有所有的同构，它们当然意味著会环绕着除了Q实质上的所有的路行进（互相交换Q），而在顶部，我们只有 e-automorphism，它什么都不行进（互相交换所有的路）。

如果我们从底部第一组开始并删减一些同构，则删减的同构将不便环绕着外延的一小之外行进，从而互相交换该之外外延。当我们替换成非常多的同构时，越来越大的之外场将免于严重影响，因此我们将占有非常大的互相交换场。

为了非常宽松一点，我们需很难比较第一组和报文的微小。一第一组的微小当然是其当中同构的天内量。报文的微小是词语的天内量。这两者都只是一样的，但为什么意味著会这样呢？

租

今天，我们可以提示五次的 S₅ 长子一第一组格，断定它确实样子比较精细。但是为了将它与康熙字典联系在一齐，我们需一种举例来分析一第一组及其长子一第一组间的确定性。即：例如，D₄ 比 C₄ 精细多少？为此，我们引进了“租”的假设。租实质上是第一组于是以切。这是如何运作的？

在平常的分成当中，我们要用这样的什么事：为了将 15 个取而代之产品分给 5 个人，我们将取而代之产品集当中的取而代之产品细分 5 等火炉，每火炉将相同于人集当中的一个人。疑虑 15/5 的解法是 3，其当中一火炉，任何一火炉都可以，因为它们是也就是说的。

当我们分成小第一组时，也意味著会便次发生相同的什么事。为了将 D₄ 除以 C₄，我们将 D₄ 的 8 个备注达方式细分 4 个也就是说的第一组，C₄ 当中的每个备注达方式一第一组。我们如何使第一组社会制度？它不像备注达方式都是有所不尽相同的取而代之产品。例如，它们可以是比较不尽相同的同构。好吧，于是以因为这个状况，租天内却是平常意味著的。但有时一个一第一组体可以总称“陪集”。举例我们将 D₄ 细分 4 个也就是说的之外，每个之外有 2 个备注达方式。如果幸运的话，我们可以有 4 火炉备注达方式，其当中两个备注达方式间的联系在所有火炉当中都有所不尽相同。为了很难要用到这一点，原始第一组需备注现出高水平的自差异性。为了二阶这一点，让我们看一下 D₄ 的西尔维斯特左图。

可以看出，这里只不过长期存在相对的自差异性。左上角、右上角、左下角和右上角样子都一样。这是我们的陪集。

所以 D₄/C₄ 实质上是这些陪集之一，即 C₂。因此：D₄/C₄=C₂。

今天，通过引进租天内，我们只不过有了如何才对重构第一组的假设。于是以如 21 由 3 和 7 第一构成一样，一第一组也由它们的长子一第一组第一构成。于是以如我们可以通过于是以切 21/7=3 得不到一个天内的糖类一样，我们也可以通过取租得不到一个一第一组的糖类。由于 D₄/C₄=C₂，这反之亦然如果我们有一个 C₄ 第一组，我们需将它之比 C₄ 才能得不到 D₄。由于报文和第一组间长期存在相同联系，因此这将对我们如何重构报文发挥功用。

激进分长子 五次长子一第一组

今天，我不意味著会展出S₅的一第一组格的左图片，因为它太大了，但我意味著会感叹一些关于它的长子一第一组的什么事。其当中一个长子第一组是A₅（交替第一组），很较难检验。要从A₅到S₅，我们需S₅/A₅=C₂。因此，我们可以通过棍长子式穿过那里，但是：A₅的一个长子一第一组是(e)，但 A₅/e 不是循环一第一组。偷偷地感叹一下，对于任何n≥5的 An 都是如此。因此我们不能通过棍长子式穿过那里，唉，任何次天内≥5的自然数都只能通过棍长子式求二阶。

这就是伽罗瓦在十几岁时如何造出一第一组的假设来正确性一个长期悬而未决的疑虑，即五次定律⁹的不可二阶性。

关键在于角

我们从环绕着伽罗瓦方的工具当中得不到的一个引人入胜的额外或许，在这种完全是外延的塔举例，最好地正确性了自希腊以来后遗症生命的一个疑虑，即：不意味著用直角三角形似和罗盘。显然，希腊人羡慕用这种方式也画作的路，并对这种举例的或许感到好奇。

一个例长子是在另外两个点的于是以当中间找寻关键点。为此，将就是罗盘放在都只上，先以环绕着关键点画作一个方格，然后便环绕着另关键点画作一个方格。用作直角三角形似作为尺长子，在点间画作一条线，然后在方格对角的点间画作一条线。于是以当中间是线对角。

但是这种绘制方式也如何转成为场论呢？好吧，可以将上述疑虑视作，举例我们有两个点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)的场。我们打算扩展到该报文以也都有于是以当中间点。为此，我们找寻圆形(x−x₁)²+(y−y₁)²=r和(x−x₂)²+(y−y₂)²=r的相交。我们得不到两个取而代之点(x₃, y₃)和(x₄,y₄)。它们间的线是y=(y₄−y₃)/(x ₄ −x₃)x。以前都只间的线是y=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)x。如果他们对角，二阶决 x 得不到。

显然，直角三角形似和绘架座的特征相当于求二阶一以次和二以次定律。

但是关键在于直角是什么意指呢？

三角不等式得出结论：

但是由于用作直角三角形似和绘架座与求二阶一查德二维定律有所不尽相同，因此一次操作唯一意味著的场扩展到是 2，然后用作取而代之点我们可以获得 2 的幂：4、8、16 等，但永远不意味著会3.

虽然均用作直角三角形似和绘架座不意味著将尺度关键在于，但用作折纸是意味著的。

二阶决一般的五次

不应感叹，一般的五次定律虽然只能用棍长子来求二阶，但可以用“纳阿达马θ函天内”来求二阶。

。

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